Ampliación del concepto de energía

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1. Revisando el concepto de energía

 

     Cuando ya el alumno ha aprendido el manejo elemental de vectores (componentes del vector y operaciones sencillas usando esas componentes) y conoce, al menos, el concepto de derivada de una función, es posible ampliar los conceptos presentados en el apartado “Aproximación a la energía”. En la estructuración de la enseñanza existente hoy en España, podría ser en el primero y segundo curso de Bachillerato, pero en general sería en aquellos cursos dónde se estudie Física por segunda vez y en los que se posean los conocimientos matemáticos antes indicados.

Y en relación con el controvertido tema de las exigencias matemáticas de la Física, nos permitimos una breve reflexión acerca del manejo de derivadas e integrales. Nuestra experiencia nos enseña que aún sin conocer los fundamentos del cálculo integral e incluso sin un estudio en profundidad del cálculo diferencial, pueden utilizarse ambos en estos niveles de estudio de la Física. Basta con definir lo que los matemáticos llaman interpretación física de la derivada, es decir, la medida del ritmo de cambio de una variable respecto a otra.    Algunos ejemplos pueden presentar la forma de calcular las derivadas más usuales. La aplicación a la Cinemática es relativamente sencilla. Encontrada experimentalmente una ecuación de movimiento es posible, hallando la derivada, evaluar el ritmo de cambio de la posición respecto al tiempo. Ello lleva al concepto de velocidad instantánea. Un paso algo más complejo puede llevar posteriormente a la aceleración.

Aunque resulta más complicado, puede llegar a establecerse el procedimiento inverso. Si se conoce el ritmo de cambio de una variable respecto a otra es posible hallar la función primitiva, es decir la relación matemática entre ambas variables. En este caso hay que destacar que siempre existe la posibilidad de que exista una constante en esa relación cuya derivada sería cero y que debe deducirse del contexto del problema. Un caso sencillo es el de un movimiento de velocidad conocida y constante en el que se quiere hallar la relación posición-tiempo. La constante será el valor de la posición para t=0, que arbitrariamente puede ser considerado nulo o tomar cualquier otro valor. Se trataría de poner el contador de distancias del automóvil a cero o de empezar a contar trayectos desde el valor que tuviera el cuentakilómetros general.

 

2. El trabajo mecánico como producto escalar.

 

En la aproximación a la energía se definió el trabajo mecánico como un "operador" matemático que permite evaluar la energía transferida o transformada a un cuerpo por la acción de una fuerza, multiplicando el desplazamiento experimentado, por la fuerza causante de la variación energética en la dirección del desplazamiento. Con la ayuda de los nuevos métodos matemáticos pueden ampliarse las utilidades del trabajo.

Así, cuando la dirección de la fuerza ejercida sobre un cuerpo no coincide con la del desplazamiento, solo afecta a ese desplazamiento la componente de la fuerza en la dirección en que se desplaza. Si se pretende hallar la variación energética de la vagoneta de la figura, que se mueve de izquierda a derecha por la vía recta, para calcularla usando el operador trabajo hay que utilizar esta última solamente. En una representación gráfica de vectores, se observa que si F es la fuerza aplicada sobre la vagoneta, FDD su componente en la dirección del desplazamiento y α el ángulo que forman ambos, la expresión del trabajo quedaría

W=FDD.Δs=F.Δ.cosα=F.Δs            (2.1)

     A esa forma de multiplicar vectores se la denomina producto escalar. Por supuesto ese producto, al ser una energía, es una magnitud escalar. Una ventaja de escribirlo de esta forma procede de que cuando un cuerpo se mueve, basta con saber el ángulo que forman fuerza y desplazamiento, para saber si el cuerpo sobre el que se hace la fuerza recibe energía cinética o la pierde. En efecto si α>0 el producto es positivo y si α<0 negativo. Si se destaca lo del cuerpo sobre el que se hace la fuerza es por un motivo importante. Con el "operador" trabajo podemos evaluar tanto la energía ganada por ese cuerpo, como la pérdida por aquel que realiza la fuerza. Hay que destacar que ambas no es que sean iguales es que son la misma, ya que para que un cuerpo gane energía otro tiene que perderla. Conviene detenerse en el caso en que α=90º lo que conlleva que el "operador" trabajo es a su vez cero. Ello sirve para destacar que desde el punto de vista macroscópico hay situaciones en que es posible transferir energía, pero esa transferencia no puede ser evaluada usando el  trabajo mecánico.

       En la aproximación a la energía se destacaba que si no había desplazamiento el "operador" trabajo daba un resultado nulo. Ahora puede ampliarse esta situación a otra nueva. Si el vagón de la figura que allí aparece se halla en movimiento sobre la vía rectilínea hacia el lector y el oso empuja  en dirección perpendicular a esta, aunque él vagón se desplace tampoco se puede calcular la energía perdida por el plantígrado como trabajo. La razón es sencilla de entender. El vagón se mueve porque alguien lo empuja (o lo empujó) en la dirección de la vía y no se mueve por la acción de la fuerza del oso. Esa fuerza no tiene componente en la dirección de la vía, o mejor dicho sí la tiene pero está compensada por la reacción de los carriles lo que da una resultante nula en esa dirección y por ello no puede influir directamente en el movimiento. Al expresar el trabajo como producto escalar, la forma matemática de describir este efecto es afirmar que el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento vale noventa grados y el coseno es nulo.

       Otra cosa sería que el oso arrastrase el vagón por la vía haciendo una fuerza que formara un ángulo con la horizontal. Si se pretende averiguar la energía que ha perdido el animal arrastrando horizontalmente el cuerpo es fácil hacerlo utilizando el "operador" trabajo como producto escalar. Es decir multiplicando la componente de la fuerza que el oso hace sobre la horizontal por el camino que recorre. Pero la energía total perdida por el animal es mayor que la así calculada, toda vez que gasta una energía en ayudar al agua a mantener a flote la plataforma (componente de la fuerza F en dirección vertical). Los alumnos se percatan así de que usando el trabajo mecánico sólo se pueden calcular unas determinadas transferencias o transformaciones energéticas, pero no otras. Lo que, obviamente, no disminuye la trascendencia física del concepto de trabajo mecánico.

 

3. La forma diferencial del trabajo.

 

    Hasta ahora todo el estudio en el que los intercambios energéticos son calculables mediante el trabajo, han supuesto que la fuerza que intervenía era constante en el tiempo. Sin embargo en estos niveles se estudian casos en que esa fuerza no lo es. La forma de aplicar el trabajo puede lograrse escribiendo la expresión (2,1) en forma diferencial. Si se considera un tiempo muy pequeño dt, el desplazamiento ds será también muy pequeño y en él puede considerarse que la fuerza F no varía apreciablemente. En ese caso es evidente que la energía transferida dW al desplazarse el cuerpo ds por la acción de la fuerza F tendrá un valor muy pequeño. En consecuencia:

dW= F.ds =F.ds.cosα      (2. 2)

Esta manera de escribir (2,1) amplía considerablemente el campo de aplicación del trabajo mecánico para evaluar transferencias energéticas. Por ello creemos que merece la pena dedicar un cierto tiempo al cálculo diferencial antes aludido, toda vez que su uso facilita las cosas y evita introducir sin justificación algunas relaciones matemáticas. Y aquí nos permitimos introducir un cambio respecto al tratamiento habitual. En vez de realizar integraciones de la expresión 2.2 en cada uno de los casos que se vayan a estudiar puede ensayarse otro procedimiento más sencillo matemáticamente.

Es cuestión de hacer reflexionar que si se conoce la expresión que relaciona la variación de la fuerza F con la variación de la posición s, es posible hallar la función primitiva de dW/ds.  Pero dW no es un concepto abstracto y vacío de sentido sino la medida del cambio de algún tipo de energía (por ejemplo cinética, potencial elástica, potencial gravitatoria o electrostática). En consecuencia si dW se sustituye por dE, siendo E la energía correspondiente a cada caso a estudiar, la relación dW/ds se convierte en dE/ds cuya función primitiva relaciona la energía  con la posición. Se tiene así una herramienta que se puede aplicar siempre de igual manera a la resolución de los diferentes casos de energías que puedan presentarse a estos niveles de estudio de la Física. Esa función no es difícil de calcular aunque no se conozcan reglas de integración, ya que basta con ensayar ecuaciones cuya derivada coincida con la función de que se dispone. Por otra parte la introducción de lo que los matemáticos llaman la constante de integración no resulta excesivamente complicado en los casos que aquí se pretende estudiar. En lo sucesivo se propone este método para cuantificar energías hasta ahora no cuantificadas, para revisar cálculos ya hechos y para generalizar otros.

 

4. La energía potencial elástica

 

      Si se repara en las fuerzas elásticas se observa que al comprimir un muelle cada vez es necesario realizar mayor fuerza. El estudio dinámico conduce a la relación escalar  Fe=ke.L dónde L es el acortamiento o alargamiento que el muelle experimenta y ke una constante característica de cada muelle. Hay que señalar que esa fuerza es idéntica aunque de sentido contrario a la que hace el muelle sobre el agente que le empuja. Por otra parte si el muelle se comprime o se alarga, según los casos, gana energía potencial elástica, energía que debe ser pérdida por el que hace la fuerza sobre él.

     Para cuantificar esa energía potencial elástica se puede estudiar el caso en que el muelle es comprimido por la acción de una bola lanzada sobre él. La bola posee una energía cinética que va perdiendo al presionar al muelle. Cuando se haya detenido por completo, su energía cinética se habrá transferido a este, que la almacenará como energía potencial elástica.

    Se puede abordar el problema por el procedimiento que se acaba de citar en el apartado anterior, haciendo un estudio de todas las transferencias energéticas que tienen lugar en el proceso. El problema es que ahora, como antes se dijo, la fuerza no es constante y depende del acortamiento L. Sin embargo, si se tiene en cuenta la energía transferida cuando el acortamiento es muy pequeño de manera que Δs sea ds y que el desplazamiento de la bola mientras es frenada es la contracción del muelle, ds=dL, esa energía cinética perdida por la bola -dEc, que también será muy pequeña, será la potencial elástica ganada por el muelle dEpe. Se supone que la bola incide en la dirección del muelle alargado por lo que la fuerza sobre el muelle y el desplazamiento de este tienen igual dirección. Por ello:

-dEc=dEpe=dW=F.ds=F.dL.cos0           dEpe/dL=F

    Sustituyendo en esta igualdad la fuerza por el valor dado más arriba F=ke.L se puede buscar la relación entre la energía potencial elástica que el muelle adquiere y la contracción que experimenta, Epe=f(L), que es la primitiva de la función dEpe/dL=F=ke.L   que relaciona las variaciones infinitesimales de la energía del muelle con las variaciones infinitesimales de su longitud. No es complicado obtener, que para una compresión L:

Epe=½. ke.L2+constante

    El valor de la constante, como pasa siempre en las funciones primitivas, será el que corresponda a Epe cuando el primer sumando valga cero. En este caso teniendo en cuenta que se entiende por energía potencial elástica la energía que adquiere el muelle cuando se halla comprimido, si no hay compresión o sea si L=0, esa energía debe ser nula. En consecuencia la energía potencial elástica será

Epe=½.ke.L2             (2.3)

    La observación del fenómeno descrito enseña que el muelle comprimido, que posee energía potencial elástica, si tiene a la bola justo a su lado cuando se le permita extenderse la empuja lo que hace que esta vuelva a ganar energía cinética. Una vez más se encuentra el principio de conservación de la energía mecánica razonando de forma cualitativa, pero una vez más se puede proponer su comprobación cuantitativa. La energía potencial elástica del muelle es medible, si se calibra previamente para hallar su constante ke y se mide su contracción L para un caso dado. Por ello, sabiendo la masa de la bola se puede calcular previamente la velocidad con que saldrá lanzada. Si se diseña un experimento para medir esa velocidad, es posible contrastar la validez de las relaciones matemáticas obtenidas y añadir, ya desde un punto de vista completamente físico, un caso más al principio de conservación de la energía mecánica.

Como efectivamente se cumplen, es posible evaluar así energías de las más diversas procedencias. Por ejemplo, si el oso de la viñeta antes citada comprimiera un muelle de constante conocida una longitud también conocida, la ganancia de energía potencial elástica de este nos permite averiguar la perdida por el oso. Al menos lo que llamaríamos la energía útil del úrsido.

 

5. Revisando conceptos ya estudiados

 

Al igual que en el caso anterior, la formulación del "operador" trabajo en la forma diferencial puede utilizarse como ejercicio para dar cuenta de resultados ya conocidos en los que no fue preciso su uso, dado que las fuerzas que intervenían eran constantes. Uno de ellos es el movimiento de un cuerpo parado por la acción de una fuerza y otro la transformación de energía cinética a potencial gravitatoria en un cuerpo que asciende despreciando la resistencia del aire y que se presentan como ejemplo de aplicación del método que se está exponiendo.

La primera parte tiene un planteamiento tradicional. Así al plantear el problema en una primera aproximación la expresión F.Δs conducía a ½.m.v2, recordando que no tenía velocidad inicial. Ahora debe ocurrir lo mismo. Para comprobarlo basta considerar que cuando haya transcurrido un tiempo muy corto dt el cuerpo de masa m habrá ganado una pequeña cantidad de velocidad dv por la acción de una fuerza F. Si se aplica la expresión anterior, para el caso sencillo en que la fuerza tenga la misma dirección del desplazamiento siendo por ello α=0, analizando el caso desde el cuerpo que gana energía cinética, se cumple que  dW=dEC:

dEC=F.ds.cosα=m.a.ds.cos0=m.(dv/dt).ds=m.dv.(ds/dt)=m.v.dv

Es ahora cuando se puede aplicar el mecanismo que se utiliza en todos los casos. El ritmo de cambio de la energía cinética con la variación de velocidad, función derivada de la primera respecto a la segunda, es entonces dEC/dv=m.v. Si se halla la primitiva de esta función o sea la relación entre EC y v sale:

EC=½.m.v2+constante

Haciendo el mismo razonamiento anterior, la constante es el valor de EC cuando el primer sumando sea nulo, es decir para v=0. Pero si la energía cinética es la energía de un cuerpo por estar en movimiento, si v=0 debe ser también cero, por lo que la constante también lo será. Como era de esperar los resultados obtenidos usando la forma no diferencial del trabajo coinciden para fuerzas constantes con los actuales, pero es el momento de destacar como los nuevos recursos matemáticos permiten ampliar lo ya conocido, permitiendo llegar a igual resultado para fuerzas variables.

El segundo caso es el del movimiento de un cuerpo en el aire, despreciando la resistencia de este. A fin de constatar las ventajas de la notación antes señalada (2.2) se supone que el cuerpo se lanza hacia arriba desde el suelo, en dirección distinta a la vertical, es decir oblicuamente al suelo horizontal. En un determinado instante, cuando se halla a una altura h sobre el suelo, su desplazamiento será ds que formará un ángulo dado con la vertical. Durante ese desplazamiento se habrá perdido una energía cinética -dEc que se habrá transformado en un incremento de energía potencial gravitatoria, dEpg.

Puede ser este un buen momento para reparar en las consideraciones de signos para la energía evaluada con el "operador" trabajo en las transformaciones de energías cinéticas a potenciales gravitatorias y viceversa. Cuando un cuerpo asciende de una posición (1) a otra (2) más elevada, gana energía potencial gravitatoria a costa de perder energía cinética. Los incrementos de una y los decrementos de la otra, no es que sean iguales, es que son la misma cosa. Ello permite escribir que  Ec1-Ec2=Epg2-Epg1 que también puede escribirse como    -(Ec2-Ec1)=Epg2-Epg1. Para variaciones diferenciales –dEc=dEpg.

image004.jpgSi se evalúa la energía cinética perdida aplicando el teorema de la energía cinética, desde el punto de vista del cuerpo dW=F.ds.cosα y como α>π/2 tiene signo negativo supone escribir que dW. Ello concuerda con el signo de la energía cinética dado más arriba. Como en este caso la única fuerza que se tiene en cuenta es el peso FP quedaría:

-dW=dEpg=FP.ds.cos α

La observación de la figura indica que cosα=senb por lo que ha de cumplirse que ds.cosα=ds.senb=dh. La expresión anterior toma entonces la forma dEpg=FP.h. Luego:

dEpg/dh=FP             (2.4)

Con esta nueva notación, si se está en las proximidades del suelo se considera g=constante por lo que FP=m.g. La relación entre Epg y h quedaría de la forma habitual Epg=m.g.h+constante y como de costumbre la constante es el valor de Epg cuando el primer sumando vale cero. Si se mide la energía potencial respecto al suelo, cuando h=0 la energía potencial gravitatoria en él se considera nula. Pero hay que insistir en que para aplicar esta expresión en el cálculo de energías potenciales gravitatorias, hay que definir previamente lo que se considera suelo en el problema de que se trata. Si el cuerpo se encuentra sobre una mesa situada en la terraza de un edificio su energía potencial gravitatoria será distinta si el suelo que se considera es la mesa, el de la terraza o el de la calle.

Nos parece interesante revisar esta expresión ya encontrada sin usar el cálculo diferencial, haciendo hincapié en que utilizando el mismo procedimiento matemático se obtendrían resultados distintos si el valor de la fuerza peso no fuera constante. Más tarde se verá la trascendencia de tal reflexión.

 

6. Abordando conceptos nuevos

 

Lo antes expuesto es fácil de aplicar a algunos casos importantes agrupados en la llamada teoría de campos, que en estos niveles suelen limitarse al campo gravitacional y al electrostático, cuando se realice su estudio.

El primero puede plantearse retomando el caso de lanzar el cuerpo a una distancia apreciable de la Tierra o de cualquier otro astro, insistiendo que se trata de un caso similar al anterior pero enviándolo lejos. Como ya se habrá visto al estudiar las fuerzas gravitatorias, el peso viene dado realmente por la ley de la gravitación universal de forma que Fp=m.g es una simplificación para distancias cortas de la superficie de la Tierra. Si nos alejamos de ella apreciablemente, la fuerza que se hace sobre el cuerpo de masa m que pretende enviarse lejos, varía con la distancia, lo que conlleva que (2,4) debería escribirse, midiendo las distancias r desde el centro del la Tierra o del astro de masa M, como:

dEpg/dr= FP=G.M.m/r2

Al buscar la función primitiva de la anterior, como antes se hizo, resulta que :

Epg=-G.M.m/r+constante

Como siempre, esa constante es el valor que se asigna a Epg cuando el primer sumando vale cero. No es difícil averiguar que tal cosa ocurre para r=∞. Pero igual que antes, la energía potencial gravitatoria debe crecer con la altura y por ello debería ser nula cuando r=0 y máxima, es decir , para r=∞. Sin embargo poco serviría una expresión en la que uno de los sumandos valiese infinito ya que cualquier valor que se sumase a este daría también infinito. Pero conviene reflexionar en que los valores numéricos de las energías de referencia son siempre relativos y por ello puede adoptarse para el infinito una energía potencial gravitatoria igual a cero. En tal caso ese valor sería el máximo posible correspondiendo el mínimo al valor que tomaría la expresión para r=0 que será -∞. Ello no está contrapuesto con el hecho de que aumente al alejarse del astro central. Basta recordar que los números negativos crecen desde -∞ hasta 0.

Proponemos que, introducido así el concepto de energía potencial gravitatoria en un punto del espacio, se defina luego el potencial en un punto. Basta señalar que sería la energía potencial gravitatoria de la unidad de masa. La experiencia parece aconsejar tal orden, ya que ello le da significado al potencial que deja de ser considerado como un parámetro carente de sentido físico. Tiempo habrá para quién profundice en el estudio de esta disciplina, de darle significados más abstractos.

Un razonamiento idéntico para las cargas eléctricas permitiría encontrar las energías potenciales electrostáticas creadas por cargas negativas. Si un cuerpo cargado con una carga +q se impulsa alejándolo de otra carga –Q , esta lo atrae frenándolo. El cuerpo de carga +q pierde energía cinética y gana energía potencial electrostática. Como ambos cuerpos deben ser materiales, a la acción eléctrica debe superponerse la atracción gravitatoria. Considerando despreciable, no inexistente, esta última respecto a la primera se puede escribir una relación similar a la 2.4, siendo Epe la energía potencial electrostática y Fe la fuerza eléctrica.

dEpe/dr=Fe                   (2.5)

Igual que antes, expresando la fuerza eléctrica mediante la ley de Coulomb se llega a la expresión de la energía potencial electrostática para una carga positiva q sometida a la acción de una negativa Q, idéntica en forma y signo a la gravitatoria.                                 

Epe(-)=-KC.Q.q/r+constante

Un razonamiento idéntico al hecho para aquella lleva a asignar a la constante el valor cero cuando r toma el valor infinito. Por tanto en este caso también las energías potenciales electrostáticas de cargas positivas para campos creados por cargas negativas varían de -µ, valor mínimo, hasta 0, valor máximo.

Sin embargo si la carga Q fuera positiva y la fuerza sobre +q fuera repulsiva, las cosas sucederían de otra manera. Si para simplificar se supone que la carga +q se aleja de la +Q en dirección radial el ángulo α=0º se puede escribir que dEc=F.ds=dW por lo que dEc=-dEpe y (2,5) se escribiría:

dEpe/dr=- Fe

Sustituyendo Fe por el valor dado por la ley de Coulomb y buscando la función primitiva saldría

Epe=K.Q.q/r+constante

Consideraciones ya repetidas llevan a asignar a la constante un valor cero cuando r valga infinito, igual que antes. Pero ahora dado que allí la interacción es nula, realmente la energía potencial electrostática sí es nula. En este caso para  r=0 la energía potencial electrostática tendrá el valor máximo, es decir infinito.  Se trata por tanto de una magnitud decreciente. Igual que en el caso del campo gravitacional este es el momento de introducir el concepto de potencial electrostático y, en nuestra opinión, no al revés.

 

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