Aproximación al concepto de energía interna

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1. Aproximación cualitativa al concepto de energía interna

 

El alumno ha conocido ya, antes de abordar este tema, el concepto de temperatura como medida de lo calientes o fríos que están los cuerpos. Incluso se le habrá definido una escala de temperaturas diciendo simplemente que al "grado" de calor o frío del hielo haciéndose agua líquida se le asigna el valor de y al del agua convirtiéndose en vapor a una atmósfera se le da el de 100º. Es posible que conozca también la escala Kelvin, presentada de igual manera. Y en el comienzo de este tema no es difícil relacionar cualitativamente la temperatura con la energía. Un ejemplo, incluso realizado experimentalmente, puede ayudar. 

Supongamos que disponemos de un estrecho tubo de vidrio lleno ede mercurio y en cuya parte superior descansa una esfera (A). Si el conjunto está sumergido en agua a la temperatura ambiente, la esfera se halla en una cierta posición. Pero si introducimos el conjunto en agua muy caliente (B), el mercurio se dilata y la esfera gana altura. Ello supone que ha ganado energía potencial gravitatoria. Una reflexión sobre el caso puede llevar a pensar que posiblemente esa energía ganada proceda del agua caliente. Luego el agua caliente tiene una forma de energía que ha perdido porque es transferida a otros cuerpos. Si se introdujeran muchos tubos en el agua se comprobaría que se enfriaba. En consecuencia esa energía está relacionada con la temperatura. Como se desconoce por ahora su origen se la denomina energía interna.

Para adentrarse en el concepto de energía interna acabado de presentar se proponen unas reflexiones cualitativas sobre hechos conocidos que pueden llevar a establecer de entrada las conclusiones siguientes:  

1) Si se tienen dos cuerpos idénticos de igual masa A y B, estando A más caliente que B, A debe tener más energía interna.  

2)  Si ambos cuerpos se ponen en contacto, A se enfría y B se calienta, lo que hace pensar que ha pasado energía del primero al segundo.

3) Si los dos cuerpos tienen diferente masa y A está más caliente que B, será algo difícil establecer quién tiene más energía interna, pero también A se enfría y B se calienta si se ponen en contacto. 

4)  De lo dicho se deduce que si se ponen en contacto A y B con una temperatura semejante, ninguno se enfría ni se calienta, pero si se hace con dos cuerpos uno caliente y otro frío, el primero se enfría y el segundo se calienta, con independencia de cuál de los dos tenga más masa. Siempre el más caliente se enfría y el más frío se calienta.

 

2. La naturaleza de la energía interna

 

¿Cuál es el origen de la energía interna? Una forma sencilla de acercarnos a él es empezar por los gases ideales.

1.1. Energía interna y gases ideales. Un gas ideal puede imaginarse como un conjunto de numerosas partículas o moléculas monoatómicas idénticas, de forma más o menos esférica, que ejercen entre sí fuerzas despreciables y que se encuentran en un movimiento incesante desplazándose en todas direcciones sin que exista ninguna privilegiada, chocando unas con otras elásticamente (sin perder energía mecánica) y con las paredes del recinto en el que están contenidas. Esas partículas obedecen las leyes de  Newton. Lógicamente, cada una de las partículas posee una energía cinética por el hecho de moverse. Pero al chocar entre sí, unas empujan a otras haciéndolas ganar velocidad a costa de perderla ellas. Por ello las energías cinéticas serán diferentes para las diferentes partículas, de forma que se puede hablar de un amplio "abanico" de energías cinéticas individuales. Habrá partículas con mucha energía cinética y otras con muy poca.

Supóngase una masa de gas A que contiene un número conocido de moléculas (que en principio podemos suponer iguales entre sí). Si se sabe la masa de cada una y fuera posible conocer cada velocidad y el número de partículas no habría dificultad para averiguar la energía cinética total de la masa de gas y podría hallarse la energía cinética promedio de todas ellas. Bastaría dividir la energía cinética total por el número de moléculas. Es evidente que si se dispusiera de otra masa de gas idéntica B, pero en la que las partículas estuviesen más agitadas, las energías cinéticas total y  promedio serían más altas. ¿Qué puede ocurrir si ambas masas de gas se ponen en contacto?  

No es difícil imaginar que al cabo de un cierto tiempo de entrechocar las partículas más agitadas con las más lentas, el conjunto estará más agitado de lo que estaba el A, pero menos agitado de lo que se encontraba el B. Tampoco es difícil admitir que el primero ha ganado energía cinética promedio, mientras que el segundo la ha perdido y que ambas energías no es que sean iguales es que son la misma. El modelo puede explicar las conclusiones antes obtenidas. 

La energía interna de los cuerpos A y B sería la suma de las energías cinéticas de todas y cada una de las partículas que los constituyen y lo que hemos llamado temperatura sería una medida de la energía cinética promedio.

 Así se explicaría cada uno de los casos estudiados más arriba ya que: 

a) Para el caso 1) Si A y B son idénticos y de igual masa pero las partículas del A son en promedio más rápidas que las del B o sea que el primero tiene más temperatura, es decir más energía cinética promedio, el A tiene más energía interna. 

b) Para el caso 2), si se ponen en contacto pasa energía cinética del A al B hasta igualar la energía cinética promedio o sea la temperatura.  

c) Para el caso 3) aún cuando las masas sean muy diferentes quién decide el sentido del paso de la energía es la temperatura, es decir la energía cinética promedio. Aunque las partículas rápidas, por ejemplo, estén en minoría siempre aceleraran a las más lentas a costa de perder ellas velocidad. 

2.2. Energía interna en sólidos y líquidos. En los sólidos las partículas no tienen la movilidad que en los gases y en los líquidos tampoco, pero sin embargo se les puede atribuir una agitación permanente alrededor de las posiciones que ocupan. Y de forma semejante a los gases ideales cuanto más agitadas estén, mayor será su energía mecánica individual y su energía mecánica promedio y por tanto lo que hemos llamado su temperatura. Las cosas son un poco más complicadas, pero la energía interna sigue teniendo como origen las energías mecánicas (o de otra clase) que poseen los componentes elementales del cuerpo.

 

3. Cuantificación de la energía interna

 

De igual forma que ocurre con la energía mecánica es difícil evaluar los valores absolutos de la energía interna, pero igual que allí es posible hacerlo con las ganancias o pérdidas de ella.

Razonando sobre el modelo de gas ideal se puede hacer ver al alumno que para aumentar en una cantidad dada la temperatura, o sea la energía cinética promedio de dos cuerpos de distinta masa, habrá que transferir más energía interna al de más masa ya que hay más partículas elementales en este. Por ello la energía interna transferida a un cuerpo dependerá de su masa

Razonando sobre el mismo modelo, si se tienen dos cuerpos de igual masa y a uno de ellos se le pretende aumentar el doble la temperatura, es decir la energía cinética promedio, a ese cuerpo es evidente que habrá que darle el doble de energía interna ya que cada partícula deberá tener doble energía cinética promedio. Por ello la energía interna transferida a un cuerpo dependerá también de la diferencia entre las temperaturas inicial y final. La energía interna depende entonces de la masa y de la diferencia de temperaturas

Aunque no se le presente matemáticamente a estos niveles no hay dificultades para decir que en el caso de los gases ideales monoatómicos, es posible deducir de los principios de la Mecánica newtoniana una expresión para el valor de la energía interna que establece su relación  con la masa y la temperatura  U=m*(3*R/2*mmol)*T, siendo R la constante de la ecuación de los gases ideales y mmol, la masa de un mol de moléculas,  por lo que las variaciones de temperatura ΔT, sin variaciones de volumen, se relacionan con las de energía interna ΔU por la expresión. (Si algún lector quiere ver la demostración sencilla basta con pulsar en deducción)

ΔU=m*(3*R/2*mmol)*ΔT=m*ce*ΔT

En ella ce es una magnitud idéntica para todos los gases del tipo indicado, que de la ecuación  resulta ser [(energía/unidad de masa)/K].

Esa magnitud se denomina calor específico. Correspondería a la energía que cede (o gana) una unidad de masa del gas ideal cuando pierde (o gana) un kelvin de temperatura. 

Queda claro con ello que la energía interna en el gas ideal solo procede de las energías cinéticas de los constituyentes del mismo, moléculas o átomos.

En el caso de cuerpos que no sean gases ideales, el problema aparece porque no todos los componentes elementales de cada cuerpo son tan sencillos como los de los gases ideales y aparecen otros tipos de energías (vibración, rotación...). Por ello ya no es posible encontrar una relación para el ce de cuerpos sólidos, líquidos o gases reales deducida directamente de las propiedades de la sustancia. Pero puede habilitarse una constante específica de cada cuerpo, determinable experimentalmente, denominada también calor específico, ce, que se puede definir como la energía que precisa una unidad de masa de un cuerpo para aumentar un grado su temperatura.

Por ello la expresión de la energía interna ganada o perdida también puede calcularse como:

ΔU=m*ce*ΔT

expresión idéntica a la de los gases ideales.

 

4. ¿Qué hacemos con el calor?

 

Si se consulta el diccionario de la Real Academia Española el vocablo calor tiene varios significados. El primero es "Sensación que se experimenta ante una elevación de temperatura" y el segundo, casi al final "Fís. Energía que pasa de un cuerpo a otro y es causa de que se equilibren sus temperaturas." Aunque habría algo que discutir de la segunda no hay duda de que es la correcta. Pero no hay la menor duda de que nuestros alumnos llegan a sus primeros contactos con este tema en Física con la primera acepción. ¡Y cuesta tanto ir en contra del significado que estamos usando habitualmente para una palabra!  Incluso los propios profesores no tenemos reparo en decir ante los alumnos, si tenemos que hacerlo, "Que calor hace", cuando deberíamos decir "Que temperatura tan alta tenemos hoy". En cualquier informativo de climatología se afirma que nos "va a alcanzar una ola de calor procedente de..." 

¿Cuesta tanto sustituir el término calor por el de energía interna o incluso el de energía térmica?  ¿Por qué hay que seguir usando la unidad caloría en vez de usar el Julio? Ahora, felizmente, ya se suelen dar muchas veces los calores específicos en unidades S.I. y no en calorías, pero aún hay partidarios de seguir con la idea tradicional. Si hay que usar estas porque aún aparecen en dietas alimenticias, por ejemplo, con decir que es otra unidad de energía interna y dar su equivalencia con el Julio se acaba el problema.

Lo expuesto tiene para nosotros muchas ventajas. Enumeremos algunas:

1. Es fácil identificar la energía interna expresada así con la idea de energía que los alumnos ya han estudiado en Mecánica, incluso cuantitativamente.

2. Adquiere para los alumnos un significado que pueden imaginar. No tan grafico como una distancia o una masa, pero mucho más asequible que el clásico, que parece una abstracción.

3. Si se les ha acostumbrado en el estudio de la energía mecánica a evaluar transferencias energéticas, en este tema se sigue en la misma línea. Estamos calculando energías perdidas o ganadas.

4. Al presentar el equilibrio térmico como un caso más de transferencias energéticas, si se calcula la energía que pierde el cuerpo caliente y la que gana el frío no hay que igualarlas porque sean idénticas sino porque son la misma. Como el coste de nuestra compra puede hallarse restando del dinero que teníamos antes de hacerla el que tenemos después, que obviamente será igual a la cantidad que encuentre el tendero si hace lo propio con sus caudales. O que la energía perdida por el muelle que empuja a una bola es la misma que ha ganado esta última.

Es obvio que se trata de romper con la tradición, sacrosanta tradición a veces, pero la ruptura con ella si los hechos lo aconsejan ha sido la forma que ha tenido la ciencia para avanzar. ¿O no?

Y como siempre, esto no es una propuesta dogmática. Cualquier sugerencia o aportación no solo no es mal recibida sino que se agradece.

 

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Deducción

 

En un cubo de arista L hay N partículas iguales de masa m moviéndose en todas direcciones y chocando elásticamente con las paredes del recipiente. Se pretende averiguar de qué factores depende la presión que esas partículas ejercen sobre las paredes. 

   Para ello elegimos primero una partícula de velocidad v con una componente vx en dirección normal a una cara (A por ejemplo). Al chocar con esa cara ejerce una fuerza sobre ella. Vamos a calcular el valor de esa fuerza durante un segundo. 

  1. Tras chocar elásticamente con la pared, rebota, choca con la cara opuesta y vuelve a chocar de nuevo con la primera. El tiempo que tarda en hacerlo (tiempo empleado en ir y volver) será  tiv=2*L/vx.

  2. En 1 segundo chocará ncho veces con la cara A de forma que si tarda tiv  entre choque y choque debe cumplirse que  tiv=1/ncho de donde ncho=1/tiv=vx/2*L

  3. Si hay un choque elástico se conserva la cantidad de movimiento, p, que si inicialmente era m*vx  luego será -m*vx. La variación de p, Δp=m*vx-(-m*vx)=2*m*vx

   4. Del segundo principio de Newton se deduce que cada impacto supone realizar una fuerza  Fi=Δp/Δt  y para Δt=1   Fi=Δp=2*m*vx pero si en 1 segundo hay ncho la fuerza ejercida será F=ncho*Fi  y como ncho=vx/2*L

F=(vx/2*L)*2*m*vx=m*vx2/L

  Es evidente que si hay N moléculas monoatómicas, todas con igual velocidad,  la cara A experimentaría una fuerza F de valor  F=N*m*vx2/L  y ya que la superficie de la cara es S=L2  soportaría una presión  

p=F/S=(N*m*vx2/L)/L2 =N*m*vx2/L3

por lo que recordando que L3=V  resultaría:  

p=(N*m*vx2)/V

  Si queremos extender lo anterior a todas las moléculas del recinto que tienen velocidades diferentes entre sí y le asignamos una velocidad media vm  se cumple que  vm2=vx2+vy2+vz2, pero teniendo en cuenta que N es un número muy grande, por ser valores medios deben ser iguales los de las componentes,  vx=vy=vz=vm por lo que vm2=3*vx2  y por ello vx2=(1/3)*vm2 el valor de la presión viene dado por la primera de las ecuaciones siguientes (1), que multiplicando ambos miembros por V (para escribir la ecuación general de los gases) y multiplicando y dividiendo por 2, tras reajustar, lleva a la expresión segunda (2):

p=1/3*[(N*m*vm2)/V]         (1)            p*V=(2*N/3)*[(1/2)*m*vm2]=n*R*T         (2)

La expresión entre paréntesis corresponde al valor de la energía cinética Ecip promedio de cada molécula por lo que sustituyendo esa expresión por Ecip y despejándola se tiene:

Ecip=(1/2)*m*vm2                 Ecip=(3*n*R*T)/(2*N)

   Por otra parte es evidente que la energía interna U de las N partículas será  U=N*Ecip. Si se sustituye queda

U=(3*n*R*T)/2

Si el gas se enfría o calienta de T1 a T2 la variación de su temperatura será T2-T1=ΔT y su energía interna variará de U1 a U2    a U2-U1=DU. Combinando estas relaciones y teniendo en cuenta que n es el número de moles de moléculas y que se relaciona con la masa m por n=m/mmol  resulta finalmente:

ΔU=n*(3*R/2)*ΔT=m*[(3*R)/2*mmol]*ΔT

A la expresión (3*R)/2  se la conoce como calor molar a volumen constante y a (3*R/2*mmol)  se la conoce como calor específico del gas. Obviamente para todos los gases ideales (básicamente los gases nobles) el calor molar es constante. 

 

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